lunes, 20 de abril de 2015

Integrales trigonométrica 

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.






EJEMPLO:
integrada tangente
integrar la tangente
integrado la tangente
Publicado por en No hay comentarios:

 
 

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
$\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con $a > 0$ y $b>0$
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

a.
El integrando contiene una función de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$
Se hace el cambio de variable escribiendo
$\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$donde $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$
Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$
Además: 
$\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$ pues $a > 0$ y como
$\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $cos\;\theta>0$ por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$
Luego: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$
Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:


Ejemplos:

1.$\displaystyle {\int \sqrt{16 - x^{2}}\;dx\; x \varepsilon ]-4,4[}$

Sea $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ con $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$
$\displaystyle {dx = 4\;cos\;\theta\; d \theta}$
Luego: $\displaystyle {16-x^{2} = 16-16\;sen^{2}\theta = 16\;(1-sen^{2}\theta) = 16\;cos^{2}\theta}$
$\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$
Sustituyendo:
$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = \int 4\;cos\;\theta \cdot 4\;cos\;\theta\;d\theta = 16\int cos^{2}\theta\;d\theta}$
$\displaystyle {= 16\int \frac{1+cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 8\int (1+cos\;2\theta)\;d\theta}$
$\displaystyle {= 8\;(\theta + \frac{1}{2}\;sen\;\theta) + C}$
$\displaystyle {= 8\theta + 4\cdot 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$
$\displaystyle {= 8\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$
Como $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{4}}$ y $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{x}{4}\right)}$
Además $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$ por lo que $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}$
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:
$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$
$\displaystyle {=8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + 8\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$
$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$
Publicado por en No hay comentarios:
                  Resolución de Integrales por  Cambio de Variable

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (Cambio  de variable).

Luego de hacer efectivo el cambio de variable , por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.

Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva

Método

Queremos resolver la siguiente integral
integración por sustitución
  • Buscamos un cambio de variable:           g(u) = x   (o bien u = g-1(x) )
  • Derivamos en la igualdad:           integración por sustitución
  • Sustituimos en la integral
    • x por g(u)
    • dx por    integración por sustitución
  • Calculamos la integral con la nueva variable.
  • Deshacemos el cambio de variable.

Cambios de variables útiles

cambios de variable recomendados para integrales
EJEMPLO:
ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable

ejercicios resueltos integración por sustitución o cambio de variable
Publicado por en No hay comentarios:


Muchas veces se puede aplicar la relación dada en el teorema fundamental del cálculo. Esto es cuando se conoce una función cuya derivada es f(x), entonces la función es el resultado de la anti derivada. Este método requiere del uso de las propiedades de las operaciones dado el caso de la integral, como las propiedades de la potenciación, radiación y demás operaciones primarias y secundarias. Este método de resolución requiere una tabla de funciones y sus anti derivadas, estas se presentan a continuación:

Un ejemplo de esto es:







Calcular la integral indefinida \int \sec^2(x) \, dx.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de \tan(x) es \sec^2(x). Por tanto: \int \sec^2(x)\,dx = \tan(x)+ C.
Publicado por en No hay comentarios:
Suscribirse a: Entradas (Atom)