Volumen de una función
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX           y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

Cálculo de los centroides

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.

Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.

Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.

Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.

El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.

Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura.

Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediantecalcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.

Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.

Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.

Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total

                                                                                              Área total    

Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada 

Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión.

Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.

 

Área entre una función y el eje de abscisas

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces 
la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas.
El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo 
   f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función
   que tiene como límites de integración los puntos de corte.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la 
gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. 
El área de la función viene dada por un viene dada por:

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo
del eje de abscisas. Para calcular elárea de la función seguiremos
los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo 
    f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites
 de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en
   valor absoluto de cada intervalo.

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la 
función que está situada por encima menos el área de la función 
que está situada por debajo.