CALCULO INTEGRAL : junio 2015

RADIO DE CONVERGENCIA

En matemáticas según el teorema de Cauchy-Hadamard el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales una serie de la forma , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en

x0

. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de

x

que verifica que

| x - x0 | < r

, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de

x

pertenecientes al intervalo

(x0 - r,x0 + r)

, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para

x0

r = 0

. Si lo hace para cualquier valor de

x

r =

$\infty \,\!$

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

RADIO DE CONVERGENCIA FINITO

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es

r = 1

. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x0 = 0

es menor que

r = 1

, por ejemplo el

x = 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el

x = 2

, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente: $\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$

SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE D ALEMBERT)

Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función. Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6,…). Secuencias finitos se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función del contexto.

CRITERIO DE D'ALEMBERT

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ ( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si L < 1, la serie converge.

si L > 1, entonces la serie diverge.

si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

CRITERIO DE CAUCHY

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L$ , siendo $L \, \in \, [0, +\infty)$

Entonces, si:

L < 1, la serie es convergente.

L > 1 entonces la serie es divergente.

L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA. PRUEBA DE RAZÓN Y RAÍZ.

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

SERIE DE POTENCIAS

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.

SERIE DE TAYLOR

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresando la serie de Taylor como:

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r).

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.Esta representación tiene tres ventajas importantes:La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.Definición:

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

QUE ES UNA SERIE

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Ejemplo, 1, 4, 9, 16,25.

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie: 1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita.

SERIE INFINITA.

En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:

SERIE FINITA

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, Las series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.

martes, 2 de junio de 2015

CRITERIO DE D'ALEMBERT

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ ( serie de términos positivos).